Logaritmo naturale - ln (x)

Il logaritmo naturale è il logaritmo in base e di un numero.

Definizione di logaritmo naturale

quando

e y = x

Allora la base e logaritmo di x è

ln ( x ) = log e ( x ) = y

 

La costante e o il numero di Eulero è:

e ≈ 2,71828183

Ln come funzione inversa della funzione esponenziale

La funzione logaritmo naturale ln (x) è la funzione inversa della funzione esponenziale e x .

Per x/ 0,

f ( f -1 ( x )) = e ln ( x ) = x

Oppure

f -1 ( f ( x )) = ln ( e x ) = x

Regole e proprietà del logaritmo naturale

Nome regola Regola Esempio
Regola del prodotto

ln ( x ∙ y ) = ln ( x ) + ln ( y )

ln (3 ∙ 7) = ln (3) + ln (7)
Regola quoziente

ln ( x / y ) = ln ( x ) - ln ( y )

ln (3 / 7) = ln (3) - ln (7)
Regola del potere

ln ( x y ) = y ∙ ln ( x )

ln (2 8 ) = 8 ∙ ln (2)
In derivata
 f ( x ) = ln ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / x  
In integrale
 ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C  
ln di numero negativo
 ln ( x ) non è definito quando x ≤ 0  
ln di zero
 ln (0) non è definito  
 
In uno
 ln (1) = 0  
ln dell'infinito
 lim ln ( x ) = ∞, quando x → ∞  
Identità di Eulero ln (-1) = i π  

 

Regola del prodotto logaritmo

Il logaritmo della moltiplicazione di xey è la somma del logaritmo di xe del logaritmo di y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Per esempio:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Regola del quoziente logaritmico

Il logaritmo della divisione di x e y è la differenza tra il logaritmo di x e il logaritmo di y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Per esempio:

log 10 (3 / 7) = log 10 (3) - log 10 (7)

Regola del potere logaritmico

Il logaritmo di x elevato alla potenza di y è y volte il logaritmo di x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Per esempio:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Derivata del logaritmo naturale

La derivata della funzione logaritmo naturale è la funzione reciproca.

quando

f ( x ) = ln ( x )

La derivata di f (x) è:

f ' ( x ) = 1 / x

Integrale del logaritmo naturale

L'integrale della funzione logaritmo naturale è dato da:

quando

f ( x ) = ln ( x )

L'integrale di f (x) è:

∫ f ( x ) dx = ∫ ln ( x ) dx = x ∙ (ln ( x ) - 1) + C

Ln di 0

Il logaritmo naturale di zero non è definito:

ln (0) non è definito

Il limite vicino a 0 del logaritmo naturale di x, quando x si avvicina a zero, è meno infinito:

Ln di 1

Il logaritmo naturale di uno è zero:

ln (1) = 0

Ln dell'infinito

Il limite del logaritmo naturale dell'infinito, quando x si avvicina all'infinito, è uguale all'infinito:

lim ln ( x ) = ∞, quando x → ∞

Logaritmo complesso

Per il numero complesso z:

z = re iθ = x + iy

Il logaritmo complesso sarà (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))

Grafico di ln (x)

ln (x) non è definito per valori reali non positivi di x:

Tabella dei logaritmi naturali

x ln x
0 non definito
0 + - ∞
0.0001 -9.210340
0.001 -6.907755
0,01 -4.605170
0.1 -2.302585
1 0
2 0.693147
e ≈ 2,7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

 

Regole del logaritmo ►

 

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