Aby zmienić podstawę z b na c, możemy użyć logarytmicznej zmiany podstawy. Logarytm o podstawie b z x jest równy logarytmowi o podstawie c z x podzielonemu przez logarytm o podstawie c z b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Podnoszenie b z potęgą logarytmu podstawy b x daje x:
(1) x = b log b ( x )
Podnoszenie c z potęgą logarytmu o podstawie c b daje b:
(2) b = c log c ( b )
Kiedy weźmiemy (1) i zamienimy b na c log c ( b ) (2), otrzymamy:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Stosując log c () po obu stronach (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Stosując regułę potęgi logarytmów :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Ponieważ log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Lub
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )