Правила логарифму

База б логарифм ряду є показником , що нам потрібно , щоб підняти базу для того , щоб отримати номер.

Визначення логарифму

Коли b піднято в ступінь y дорівнює x:

b y = x

Тоді базовий b логарифм x дорівнює y:

log b ( x ) = y

Наприклад, коли:

2 4 = 16

Тоді

журнал 2 (16) = 4

Логарифм як обернена функція експоненціальної функції

Логарифмічна функція,

y = log b ( x )

- обернена функція експоненціальної функції,

x = b y

Отже, якщо ми обчислимо експоненційну функцію логарифму x (x/ 0),

f ( f -1 ( x )) = b log b ( x ) = x

Або якщо ми обчислимо логарифм експоненціальної функції x,

f -1 ( f ( x )) = log b ( b x ) = x

Натуральний логарифм (ln)

Натуральний логарифм - це логарифм до основи e:

ln ( x ) = log e ( x )

Коли e константа - це число:

e = \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ ліворуч (1+ \ frac {1} {x} \ праворуч) ^ x = 2,718281828459 ...

або

e = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ вліво (1+ \ вправо x) ^ \ frac {1} {x}

 

Див .: Природний логарифм

Обчислення зворотного логарифму

Обернений логарифм (або антилогарифм) обчислюється шляхом підняття основи b до логарифму y:

x = log -1 ( y ) = b y

Логарифмічна функція

Логарифмічна функція має основну форму:

f ( x ) = log b ( x )

Правила логарифму

Назва правила Правило
Правило добутку логарифму
 log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )
Правило частки логарифму
 log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )
Правило степеня логарифму
 log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Правило базового перемикача логарифму
 log b ( c ) = 1 / log c ( b )
Правило зміни базису логарифму
 log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
Похідна логарифму
 f ( x ) = log b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Інтеграл логарифму
 ∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
Логарифм від’ємного числа
 log b ( x ) не визначено, коли x ≤ 0
Логарифм 0
 log b (0) не визначено
\ lim_ {x \ до 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty
Логарифм 1
 log b (1) = 0
Логарифм основи
 log b ( b ) = 1
Логарифм нескінченності
 lim log b ( x ) = ∞, коли x → ∞

Див .: Правила логарифму

 

Правило добутку логарифму

Логарифм множення x та y - це сума логарифму x та логарифму y.

log b ( x ∙ y ) = log b ( x ) + log b ( y )

Наприклад:

log 10 (3 ∙ 7) = log 10 (3) + log 10 (7)

Правило частки логарифму

Логарифм поділу x та y - це різниця логарифму x та логарифму y.

log b ( x / y ) = log b ( x ) - log b ( y )

Наприклад:

увійти 10 (3 / 7) = увійти 10 (3) - увійти в 10 (7)

Правило степеня логарифму

Логарифм x, піднятий до степеня y, у помножений на логарифм x.

log b ( x y ) = y ∙ log b ( x )

Наприклад:

log 10 (2 8 ) = 8 ∙ log 10 (2)

Правило базового перемикача логарифму

Логарифм базису b дорівнює 1, поділений на логарифм базису b.

log b ( c ) = 1 / log c ( b )

Наприклад:

log 2 (8) = 1 / log 8 (2)

Правило зміни базису логарифму

Базовий логарифм b x - це базовий c логарифм x, поділений на базовий c логарифм b.

log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )

Наприклад, для обчислення журналу 2 (8) в калькуляторі нам потрібно змінити базу на 10:

log 2 (8) = log 10 (8) / log 10 (2)

Див .: правило зміни журналу

Логарифм від’ємного числа

Реальний логарифм базису x, коли x <= 0, не визначений, коли x від’ємне або дорівнює нулю:

log b ( x ) не визначено, коли x ≤ 0

Див .: журнал від’ємного числа

Логарифм 0

Базовий логарифм нуля невизначений:

log b (0) не визначено

Межа базового b логарифму x, коли x наближається до нуля, дорівнює мінус нескінченності:

\ lim_ {x \ до 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty

Див .: журнал нуля

Логарифм 1

Логарифм основи b одиниці дорівнює нулю:

log b (1) = 0

Наприклад, базовий два логарифми одиниці дорівнює нулю:

log 2 (1) = 0

Див .: журнал одного

Логарифм нескінченності

Межа базового логарифму b для x, коли x наближається до нескінченності, дорівнює нескінченності:

lim log b ( x ) = ∞, коли x → ∞

Див .: журнал нескінченності

Логарифм основи

Основний b-логарифм b один:

log b ( b ) = 1

Наприклад, базовий два логарифм з двох дорівнює одному:

log 2 (2) = 1

Похідна логарифму

Коли

f ( x ) = log b ( x )

Тоді похідна від f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

Див .: похідна журналу

Інтеграл логарифму

Інтеграл логарифму x:

∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

Наприклад:

∫ log 2 ( x ) dx = x ∙ (log 2 ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

Наближення логарифму

log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n - 1),

Складний логарифм

Для комплексного числа z:

z = re iθ = x + iy

Складний логарифм буде (n = ...- 2, -1,0,1,2, ...):

Log z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · арктан ( y / x ))

Задачі та відповіді на логарифми

Проблема No1

Знайдіть x для

log 2 ( x ) + log 2 ( x -3) = 2

Рішення:

Використовуючи правило товару:

log 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2

Зміна форми логарифму відповідно до визначення логарифму:

x ∙ ( x -3) = 2 2

Або

х 2 -3 х -4 = 0

Розв’язування квадратного рівняння:

x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1

Оскільки логарифм не визначений для від’ємних чисел, відповідь така:

х = 4

Проблема No2

Знайдіть x для

log 3 ( x +2) - log 3 ( x ) = 2

Рішення:

Використовуючи правило частки:

журнал 3 (( x +2) / x ) = 2

Зміна форми логарифму відповідно до визначення логарифму:

( x +2) / x = 3 2

Або

x +2 = 9 x

Або

8 х = 2

Або

x = 0,25

Графік журналу (x)

log (x) не визначено для дійсних непозитивних значень x:

Таблиця логарифмів

х журнал 10 х журнал 2 х log e x
0 невизначений невизначений невизначений
0 + - ∞ - ∞ - ∞
0,0001 -4 -13,287712 -9,210340
0,001 -3 -9,965784 -6,907755
0,01 -2 -6,643856 -4.605170
0,1 -1 -3,321928 -2.302585
1 0 0 0
2 0,301030 1 0,693147
3 0,477121 1,584963 1,098612
4 0,602060 2 1.386294
5 0,698970 2,321928 1,609438
6 0,778151 2,584963 1,791759
7 0,845098 2,807355 1,945910
8 0,903090 3 2.079442
9 0,954243 3,169925 2,197225
10 1 3,321928 2,302585
20 1.301030 4,321928 2,995732
30 1.477121 4,906891 3,401197
40 1,602060 5,321928 3,688879
50 1,698970 5.643856 3,912023
60 1,7778151 5,906991 4.094345
70 1,845098 6.129283 4.248495
80 1,903090 6,321928 4.382027
90 1,954243 6.491853 4,499810
100 2 6,643856 4,605170
200 2,301030 7,643856 5.298317
300 2.477121 8,228819 5.703782
400 2,602060 8,643856 5.991465
500 2,698970 8,965784 6,214608
600 2,7778151 9,228819 6,396930
700 2,845098 9,451211 6,551080
800 2,903090 9,643856 6,684612
900 2,954243 9,813781 6,802395
1000 3 9,965784 6,907755
10000 4 13,287712 9.210340

 

Калькулятор логарифмів ►

 

Дивіться також

Advertising

АЛГЕБРА
ШВИДКІ СТОЛИ