Abychom mohli změnit základnu z b na c, můžeme použít logaritmickou změnu základního pravidla. Základní b logaritmus x se rovná základnímu c logaritmu x dělenému základním c logaritmem b:
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )
log 2 (100) = log 10 (100) / log 10 (2) = 2 / 0,30103 = 6,64386
log 3 (50) = log 8 (50) / log 8 (3) = 1,8812853 / 0,5283208 = 3,5608766
Zvyšování b pomocí síly základního b logaritmu x dává x:
(1) x = b log b ( x )
Zvýšení c pomocí síly základního c logaritmu b dává b:
(2) b = c log c ( b )
Vezmeme-li v (1), a nahradit b s c log c ( b ) (2), dostaneme:
(3) x = b log b ( x ) = ( c log c ( b ) ) log b ( x ) = c log c ( b ) × log b ( x )
Aplikováním log c () na obě strany (3):
log c ( x ) = log c ( c log c ( b ) × log b ( x ) )
Použitím logaritmického pravidla napájení :
log c ( x ) = [log c ( b ) × log b ( x )] × log c ( c )
Protože log c ( c ) = 1
log c ( x ) = log c ( b ) × log b ( x )
Nebo
log b ( x ) = log c ( x ) / log c ( b )