כללי לוגריתם ותכונות

כללי ותכונות לוגריתם:

 

שם החוק	כְּלָל
כלל מוצר לוגריתם	יומן b ( x ∙ y ) = יומן b ( x ) + יומן b ( y )
כלל מכסת לוגריתם	יומן b ( x / y ) = יומן b ( x ) - יומן b ( y )
כלל כוח לוגריתם	יומן b ( x y ) = y ∙ יומן b ( x )
כלל מתג בסיס לוגריתם	יומן ב ( ג ) = 1 / יומן ג ( ב )
כלל שינוי בסיס לוגריתם	יומן b ( x ) = יומן c ( x ) / יומן c ( ב )
נגזרת של לוגריתם	f ( x ) = יומן b ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
אינטגרל של לוגריתם	∫ log b ( x ) dx = x ∙ (log b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C
לוגריתם של 0	יומן b (0) אינו מוגדר
לוגריתם של 1	יומן b (1) = 0
לוגריתם של הבסיס	יומן ב ( ב ) = 1
לוגריתם של אינסוף	lim log b ( x ) = ∞, כאשר x → ∞

כלל מוצר לוגריתם

הלוגריתם של הכפל של x ו- y הוא סכום הלוגריתם של x והלוגריתם של y.

יומן _b ( x ∙ y ) = יומן _b ( x ) + יומן _b ( y )

לדוגמה:

יומן _ב (3 ∙ 7) = יומן _ב (3) + יומן _ב (7)

ניתן להשתמש בכלל המוצר לחישוב כפל מהיר באמצעות פעולת חיבור.

התוצר של x כפול y הוא הלוגריתם ההפוך של סכום היומן _b ( x ) וה- log _b ( y ):

x ∙ y = log ^-1 (log _b ( x ) + log _b ( y ))

כלל מכסת לוגריתם

הלוגריתם של חלוקה של x ו- y הוא ההבדל של לוגריתם של x ושל לוגריתם של y.

יומן _b ( x / y ) = יומן _b ( x ) - יומן _b ( y )

לדוגמה:

יומן _ב (3 / 7) = log _b (3) - יומן _ב (7)

ניתן להשתמש בכלל המנה לחישוב חלוקה מהיר באמצעות פעולת חיסור.

המשתנה של x חלקי y הוא הלוגריתם ההפוך של חיסור לוג _b ( x ) ולוג _b ( y ):

x / y = log ^-1 (log _b ( x ) - log _b ( y ))

כלל כוח לוגריתם

הלוגריתם של המעריך של x המועלה לכוחו של y, הוא y כפול הלוגריתם של x.

יומן _b ( x ^y ) = y ∙ יומן _b ( x )

לדוגמה:

יומן _ב (2 ⁸ ) = 8 ∙ יומן _ב (2)

ניתן להשתמש בכלל ההספק לחישוב מעריכי מהיר באמצעות פעולת כפל.

המעריך של x שהועלה לכוחו של y שווה ללוגריתם ההפוך של הכפל של y ו- log _b ( x ):

x ^y = log ^-1 ( y ∙ log _b ( x ))

מתג בסיס לוגריתם

לוגריתם הבסיס של c הוא 1 חלקי בסיס הלוגריתם c של b.

יומן _ב ( ג ) = 1 / יומן _ג ( ב )

לדוגמה:

יומן ₂ (8) = 1 / יומן ₈ (2)

שינוי בסיס לוגריתם

בסיס לוגריתם b של x הוא לוגריתם בסיס c של x חלקי בסיס לוגריתם c של b.

יומן _b ( x ) = יומן _c ( x ) / יומן _c ( ב )

לוגריתם של 0

לוגריתם הבסיס b של אפס אינו מוגדר:

יומן _b (0) אינו מוגדר

המגבלה ליד 0 היא מינוס אינסוף:

לוגריתם של 1

הלוגריתם הבסיסי של אחד הוא אפס:

יומן _b (1) = 0

לדוגמה:

יומן ₂ (1) = 0

לוגריתם של הבסיס

הלוגריתם הבסיסי של b הוא אחד:

יומן _ב ( ב ) = 1

לדוגמה:

יומן ₂ (2) = 1

נגזרת לוגריתם

מתי

f ( x ) = יומן _b ( x )

ואז הנגזרת של f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))

לדוגמה:

מתי

f ( x ) = יומן ₂ ( x )

ואז הנגזרת של f (x):

f ' ( x ) = 1 / ( x ln (2))

אינטגרל לוגריתם

אינטגרל הלוגריתם של x:

∫ log _b ( x ) dx = x ∙ (log _b ( x ) - 1 / ln ( b ) ) + C

לדוגמה:

∫ יומן ₂ ( x ) dx = x ∙ (יומן ₂ ( x ) - 1 / ln (2) ) + C

קירוב לוגריתם

יומן ₂ ( x ) ≈ n + ( x / 2 ⁿ - 1),

 

לוגריתם של אפס ►

 

---

ראה גם

• מחשבון לוגריתם
• מהו לוגריתם?
• תרשים יומן (x)
• מחשבון לוגריתם טבעי
• לוגריתם טבעי
• קבוע
• דציבל (dB)